Come migliorare la confidenza degli studenti con la matematica

03/04/2017

“Ecco un nuovo teorema: i matematici possono dimostrare solo teoremi banali, perché ogni teorema che sia stato dimostrato è banale. […] I matematici possono dimostrare solo ciò che è ovvio”.

– R. Feynman, Surely You’re Joking, Mr. Feynman!, W. W. Norton & Co Inc.

Così scherzava con i compagni di studio uno dei più grandi fisici del ’900. Feynman in realtà nutriva una stima incondizionata per le profonde menti matematiche contemporanee, come von Neumann. La sua battuta dissacrante si può leggere anche così: in matematica, un concetto banale per un esperto può non esserlo affatto per chi è meno esperto.
Quando si comprendono appieno, anche problemi che a prima vista appaiono ostici diventano improvvisamente limpidi e naturali. La buona notizia è che questa relazione gode della proprietà commutativa: se un concetto è giudicato scontato, allora è stato compreso interamente. Ma come fare in modo che la matematica sia ovvia? Semplicemente nel modo in cui naturalmente prendiamo confidenza con le cose: familiarizzando con esse.

La matematica è di casa

Il neonato comincia a conoscere il mondo manipolando le cose che ha intorno. Questa esplorazione è basata su azioni ripetitive. Che divertano o esasperino i genitori, i gesti replicati più e più volte permettono al bambino di conoscere le proprietà dell’oggetto. La necessità di trattare le cose con tanta insistenza si attenua a mano a mano che il soggetto costruisce il proprio bagaglio di esperienze, ma rimane importante tutte le volte che si trova di fronte a qualcosa di completamente nuovo.
La matematica ha a che fare con oggetti astratti, dotati di proprietà con cui non ci si imbatte nel mondo fisico. I numeri non si rompono cadendo dall’alto, le frazioni non hanno sapore e i triangoli scaleni non emettono suoni. Tanto più importante – anzi decisiva – diventa perciò la loro esplorazione curiosa, che aiuti a capire come questi oggetti si comportano, quali sono le loro proprietà e quali relazioni li legano. In una parola, a familiarizzare con essi come si familiarizza con una persona.
Gli aneddoti in cui grandi matematici riconoscono e trattano particolari numeri come vecchi amici ha una base di verità. E nelle testimonianze di molti di loro una familiarizzazione protratta e approfondita con i termini di un problema è il presupposto fondamentale per il successo nella sua risoluzione.
Ecco allora l’utilità del tema con variazioni nell’allenamento base del matematico. Esercizi con uno schema leggermente modificato consentono di affrontare lo stesso concetto da punti di vista diversi, esplorandone tutte le implicazioni. Problemi analoghi nella struttura ma espressi in forma verbale differente abituano a riconoscere gli elementi matematicamente rilevanti: il primo passo per l’acquisizione delle capacità di modellizzazione.

Costruire la confidenza per andare lontano

L’allenamento per ripetizione e variazione è pratica comune nello sport. I tennisti, per esempio, cercano di indurre in errore l’avversario mettendolo di fronte situazioni impreviste. Come ci si prepara per non farsi cogliere di sorpresa? Esponendosi a una grande quantità di variazioni, sia costruite di proposito in allenamento, sia gareggiando sul campo.
Il lavoro basato su piccoli rapporti incrementali produce frutti immediati e duraturi in matematica, una disciplina in cui ogni nuova acquisizione si fonda sulle precedenti. Se avrà provato a giocare con i concetti in questo modo, difficilmente un ragazzo sarà preso alla sprovvista quando si imbatterà in un’operazione inversa o nell’estensione di una definizione a un nuovo insieme numerico. La confidenza acquisita crea inoltre automatismi che liberano energie cognitive che possono essere impegnate nel ragionamento quando ci si trova di fronte a problemi meno familiari. La costruzione delle competenze sarà più naturale e solida.
La familiarizzazione graduale è tanto più importante quanto più accentuate appaiono le difficoltà di partenza degli studenti. La matematica può essere di casa per tutti, nessuno escluso, nessuno mai veramente banale.

> Per un testo ricco di esercizi graduali e inclusivi vedi Math Genius.

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